Quando a série de potências $\sum a_n\left(x-x_0\right)^n$ tem raio de convergência $r>0$, diz-se que ela é a série de Taylor, em torno do ponto $x_0$, da função $f:\left(x_0-r, x_0+r\right) \rightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x)=\sum a_n\left(x-x_0\right)^n$. Esta denominação se deve ao fato de que a soma dos primeiros $n+1$ termos desta série constitui o polinômio de Taylor de ordem $n$ de $f$ no ponto $x_0$.
Exemplos
- Funções seno e cosseno: Suas séries de Taylor em torno do ponto $x=0$ são
em virtude da própria definição dessas funções.
- Função $1 /(1-x)$: A série de potências $1+x+x^2+\cdots$ é uma série geométrica. Ela converge para a soma $1 /(1-x)$ quando
e diverge quando
\[|x| \geq 1\]Logo é a série de Taylor da função $f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x)=$ $1 /(1-x)$.
- Função exponencial
A série $\sum_{n=0}^{\infty} x^n / n$ ! converge para todo $x \in \mathbb{R}$, logo a função $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} x^n / n$ !, é de classe $C^{\infty}$. Derivando termo a termo, vemos que $f^{\prime}(x)=f(x)$. Como $f(0)=1$, segue-se do Teorema 10, Capítulo 11, que $f(x)=e^x$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Portanto
\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^3}{3 !}+\cdots\]- Função logaritmo
Como $\log x$ não tem sentido para $x=0$, consideraremos a função $\log (1+x)$, definida para todo $x>-1$. Por definição, $\log (1+x)=$ $\int_0^x d t /(1+t)$. Integrando termo a termo a série de Taylor de $1 /(1+x)$, vista cima, obtemos
\[\log (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{x^n}{n},\]série de Taylor de $\log (1+x)$, convergente no intervalo aberto $(-1,1)$, pois 1 é seu raio de convergência.
- Função Arctg