Teste da razão da verossimilhança
Considere testar
\[\begin{aligned} & H_0: \theta \in \Omega_0, \\ & H_1: \theta \in \Omega_1 \end{aligned}\]Em certas situações, podemos utilizar a função de verossimilhança para quantificar a evidência em favor de $H_0$.
Definição
A estatística
\[\Lambda(x)=\frac{\sup _{\theta \in \Omega_0} f_n(x \mid \theta)}{\sup _{\theta \in \Omega} f_n(x \mid \theta)}\]é chamada uma estatística de razão de verossimilhanças. Um um teste de razão de verossimilhanças, $\delta_k$ é um teste que rejeita $H_0$ se $\Lambda(x) \leq k$ para uma constante $k$.
Teorema de Wilks
O teorema de Wilks afirma que a razão log-verossimilhança é assintoticamente normal. Isto pode ser usado para produzir intervalos de confiança para estimativas de máxima verossimilhança ou como uma estatística de teste para realizar o teste de razão de verossimilhança.
Suponha que temos um espaço de parâmetros com $k$ coordenadas, $\theta=\left(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_k\right)$ e desejamos testar a hipótese (simples) da forma
\[\begin{aligned} & H_0: \theta_j=\theta_0^j, \; j=1,2, \ldots, k, \\ & H_1: \theta_j \neq \theta_0^j, \; j=1,2, \ldots, k . \end{aligned}\]Então, sob condições de regularidade, temos que, à medida que $n \rightarrow \infty$,
\[-2 \log \Lambda(x) \stackrel{d}{\rightarrow} \chi^2(k)\]