Uma seqüência de números reais é uma função $x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$, que associa a cada número natural $n$ um número real $x_n$, chamado o $n$-ésimo termo da seqüência.
Escreve-se $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots\right)$ ou $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$, ou simplesmente $\left(x_n\right)$, para indicar a seqüência cujo $n$-ésimo termo é $x_n$.
Sequência Limitada
- Uma sequência $\left(x_n\right)$ diz-se limitada superiormente quando existe $c \in \mathbb{R}$ tal que $x_n \leq c$ para todo $n \in \mathbb{N}$.
- Analogamente, uma sequência se diz limitada inferiormente quando existe $c \in \mathbb{R}$ tal que $x_n \leq c$ tal que $x_n \geq c$ para todo $n \in \mathbb{N}$.
Diz-se que a sequência $\left(x_n\right)$ é limitada quando ela é limitada superior e inferiormente. Isto equivale a dizer que existe $k > 0$ tal que:
\[\left|x_n\right| \leq n \quad \forall \; n \in \mathbb{N}\]Limite de Sequência
Dada uma sequência de números reais $\left(a_1, a_2, a_3, \ldots\right)$, dizemos que $L=\lim a_n$ se para qualquer $\epsilon>0$ existe um inteiro positivo $N(\epsilon)$ tal que para todo $n \geq N(\epsilon)$ temos que:
\[\left|a_n-L\right|<\epsilon\]Operações com Limites
- Se $\lim x_n=0$ e $\left(y_n\right)$ é uma seqüência limitada (convergente ou não) então $\lim \left(x_n \cdot y_n\right)=0$.
- Se $\lim x_n=a$ e $\lim y_n=b$ então:
- $\lim \left(x_n \pm y_n\right)=a \pm b$.
- $\lim \left(x_n \cdot y_n\right)=a \cdot b$.
- $\lim \frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$ se $b \neq 0$.
Limites Infinitos
Dada uma seqüência $\left(x_n\right)$, $\lim x_n=+\infty$, se dado arbitrariamente $A>0$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n > n_0$ implica $x_n>A$.
Analogamente, dada uma seqüência $\left(x_n\right)$, $\lim x_n= -\infty$, se dado arbitrariamente $A < 0$, existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n > n_0$ implica $x_n < A$.
Propriedades
(1) Se $\lim x_n=+\infty$ e $\left(y_n\right)$ é limitada inferiormente então $\lim \left(x_n+\right.$ $\left.y_n\right)=+\infty$
(2) Se $\lim x_n=+\infty$ e existe $c>0$ tal que $y_n>c$ para todo $n \in \mathbb{N}$ então $\lim \left(x_n y_n\right)=+\infty$
(3) Se $x_n>c>0, y_n>0$ para todo $n \in \mathbb{N}$ e $\lim y_n=0$ então $\lim \frac{x_n}{y_n}=+\infty$
(4) $S e\left(x_n\right)$ é limitada e $\lim y_n=+\infty$ então $\lim \frac{x_n}{y_n}=0$.
Subsequência
Uma subsequência de uma sequência $\left(a_n\right)$, com $n \in \mathbb{N}$, é uma função $s: \mathbb{N}^{\prime} \rightarrow \mathbb{R}$, onde $\mathbb{N}^{\prime} \subset \mathbb{N}$ e $\mathbb{N}^{\prime}$ é infinito. A notação usual para representar uma subsequência é $\left(a_n\right)_{n \in \mathbb{N}^{\prime}}$.
Como $\mathbb{N}^{\prime}$ é enumerável, seus elementos podem ser escritos como ${n_1, n_2, \ldots, n_k, \ldots}$, e ainda podemos escolher a enumeração de forma com que $n_i<n_j$, se $i<j$. Então podemos identificar uma subsequência com uma sequência escrevendo $\left(a_{n_k}\right)$, com $k \in \mathbb{N}$. Portanto, todos os teoremas que valem para sequências valem para subsequências.
Teoremas de Sequências
- Unicidade do Limite: Uma sequência não pode convergir para dois limites distintos.
- Se $\lim x_n=a$ então toda subseqüência de $\left(x_n\right)$ converge para o limite a.
- Toda seqüência convergente é limitada.
- Toda seqüência monótona limitada é convergente.
Teorema de Bolzano-Weierstrass
Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente.
Valores de Aderência
Os valores de aderência de uma sequência são os limites de suas subsequências convergentes (podem não existir, mas se a sequência é convergente somente há um valor de aderência).
- Bolzano-Weierstrass: Se a sequência é limitada, sempre existem valores de aderência.
Teorema do sanduíche
Se $\lim x_n = \lim y_n=a$ e $x_n \leq z_n \leq y_n$ para todo $n$ suficientemente grande então $\lim z_n=a$.