Função de Probabilidade
Seja $X$ uma variável aleatória discreta, definimos a funçăo de probabilide de $X$ : \(p_X(x) = Pr(X=x)\)
Função de Probabilidade Conjunta
\[p_{X, Y}(x, y) = Pr(X=x \; \mathrm{e} \; Y=y)\]Distribuição Marginal
Oferece as probabilidades de vários valores das variáveis no subconjunto sem referenciar aos valores das outras variáveis. Seja $p(x, y)=P(X=x, Y=y)$ a funçào de probabilidade conjunta de $\mathrm{X}$ e $\mathrm{Y}$. \(f(x)=P(X-x)=\sum_n p(x, y)\)
Exemplo:
| $Y \backslash X$ | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.4 | 0.1 | 0.1 |
| 1 | 0 | 0.2 | 0.2 |
por exemplo, $Pr(X=1 ; Y=1)=0$ ($X$ e $Y$ nunca são 1 ao mesmo tempo), enquanto Pr$(X=1 ; Y=0)=40\% $. Fazendo o total dentro de cada coluna encontramos a distribuição marginal de $X$:
\[\begin{array}{cccc} x & 1 & 2 & 3 \\ Pr(X=x) & 0.4 & 0.3 & 0.3 \end{array}\]Distribuição Condicional
Valor de $X$ é conhecido, então a distribuição de $Y$ é condicional dado aquele valor de $X=x$. Exemplo: valor de $Y$. No exemplo acima, a distribução condicional de $X$ dodo que $Y=0$ é simplesmente:
\[Pr(X-x \mid Y=0) \quad \frac{1}{6} \quad \frac{1}{6} \quad \frac{1}{6}\]Variáveis Aleatórias Discretas Indepententes
\[\begin{gathered} Pr(X=i, Y=j)=Pr(X=i) \cdot Pr(Y=j) \\ Pr(X=i Y=j)=\frac{Pr(X=i \text { e } Y=j)}{Pr(Y=j)}=Pr(X=i) \end{gathered}\]Função de Probabilidade Acumulada:
Descreve completamente a distribuição da probabilidade de uma variável aleatória de valor real X. Determina a probabilidade de que uma observação aleatória que é extraída da população seja menor ou igual a um determinado valor.
\[\begin{gathered} F_X(x) = Pr(X<x) \end{gathered}\]Valor Esperado $E(X)$
Também conhecido como esperança matemática, é uma média ponderada dos valores de $X$ com pesos iguais às respectivas probabilidades destes valores. \(E(X)=\sum_{y \subset S} x \cdot p(x)\)
Propriedades: $\cdot$ Seja $Y=f(X)$,
\[\begin{gathered} E(Y)=E(f(X))=\sum_{x \in S} f(x) \cdot p(x) \\ E(a X+b)=a E(X)+b \\ E(b)=0 \end{gathered}\]$\cdot$ Seja $Z=f(X, Y)$,
\[\begin{gathered} E(Z)=E(f(X, Y))=\sum_{x: y} f(x, y) p_{X: Y}(x, y) \\ E(a X+b Y)=a E(X)+b E(y) \\ E(X-Y)=E^{\prime}(X)+E(Y) \end{gathered}\]$\cdot$ Se $X$ e $Y$ sāo independentes: \(E(X Y)=E(X) E(Y)\)
Variância e Desvio Padrão $(\sigma)$
\[\begin{gathered} Var(X)=E\left[(X-E(X))^2\right] \\ Var(X)=E\left(X^2\right)-(E(X))^2 \\ \sigma(X)=\sqrt{Var(X)} \end{gathered}\]$\cdot$ Propriedades:
\[\begin{gathered} Var(a X \mid b)=a^2 Var(X) \\ \sigma(a X+b)=|a| \cdot \sigma(X) \\ Var(b)=0 \\ Var(X+b)=Var(X) \\ Var(a X)=a^2 Var(X) \end{gathered}\]$\cdot$ Se $X$ e $Y$ säo independentes: \(Var(X \mid Y)=Var(X) \text { । } Var(Y)\)
Desigualdade de Chebyshev
Seja $X$ uma variável aleatória com valor esperado $\mu=E(X)$ e desvio padräo $\sigma(X)$. Para um intervalo $P$, $P={x \in \mathbb{R} | x-\mu \mid<k \sigma}$.
$\cdot$ Para qualquer $k>0$, teremos:
\[\begin{gathered} Pr(X \notin P) \leq \frac{1}{k^2} \\ Pr(\mid X-\mu \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2} \\ Pr(|X-\mu|<k \sigma) \geq 1-\frac{1}{k^2} \end{gathered}\]Covariância e Correlação $(\rho)$
\(Cov(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)\)
$\cdot$ Se $X$ e $Y$ são independentes: \(\begin{gathered} Cov(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)=0 \\ \rho(X, Y)=\frac{Cov(X, Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)} \end{gathered}\)
$\cdot$ Propriedades de Covariância:
\[\begin{gathered} Cov(X, Y)=Cov(Y, X) \\ Cov(a X, Y)=a Cov(X, Y) \\ Cov(X+Y, Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z) \\ Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2 Cov(X, Y) \\ Cov(a X+b, Y)=a Cov(X, Y) \end{gathered}\]Quartis
Qualquer valor $x_2$ onde a função acumulada acerta $q$ ou “passa” por $q$.
\[F\left(x_q^{-}\right) \leq q \leq F\left(x_y\right)\]- Primeiro Quartil: 0.25
- Segundo Quartil: 0.5 (mediana)
- Terceiro Quartil: 0.75