Funções Contínuas

Continuidade de f

Definição: $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ é contínua com $a \in I$ se para todo $\epsilon > 0, \exists \; \delta > 0$ tal que:

\[|x-a| < \delta \rightarrow |f(x) - f(a)| < \epsilon\]

Ou:

\[\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)\]

Continuidade em f’

\(\lim_{x\rightarrow c} f'(x) = f'(c)\)

• Uma função é contínua quando $f$ é contínua em todos seus pontos

Uniformemente Contínua

Uma função $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ diz-se uniformemente contínua no conjunto $X$ quando, para todo $\epsilon>0$ dado arbitrariamente, pode-se obter $\delta>0$ tal que $x,y \in X,$ $|y-x|<\delta$ implicam $|f(y) - f(x)| < \epsilon$

Teorema do Valor Intermediário (T.V.I)

Se $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ é contínua e $a,b \in I$, $a < b$ tais que $f(a) < f(b)$, então, para todo $d \in (f(a),f(b))$ existe $c \in (a,b)$ tal que $f(c) = d$.

Corolário: seja $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ contínua, com $f(a) < 0$ e $f(b)>0$. Existe então $c \in(a,b)$ tal que $f(c) = 0$

Teoremas

• Funções deriváveis são contínuas.
• Funções contínuas são integráveis.
• (Teorema de Weierstrass) Seja $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ contínua no conjunto compacto $X \subset \mathbb{R}$. Existem $x_0, x_1 \in X$ tais que $f\left(x_0\right) \leq f(x) \leq f\left(x_1\right)$ para todo $x \in X$.