Distribuição Qui-Quadrado
A distribuição χ2 ou qui-quadrado é uma das distribuições mais utilizadas em estatística inferencial, principalmente para realizar testes de χ2. Este teste serve para avaliar quantitativamente a relação entre o resultado de um experimento e a distribuição esperada para o fenômeno. Isto é, ele nos diz com quanta certeza os valores observados podem ser aceitos como regidos pela teoria em questão. Muitos outros testes de hipótese usam, também, a distribuição $\chi^2$.
\[Y \sim \chi^2(n)\]$\mathrm{n}$ : graus de liberdade
\[\begin{gathered} f_{Y}(y)=\frac{1}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) 2^{n / 2}} y^{\frac{n}{2}-1 e^{-y / 2}}, \quad y>0 \\ E(Y)=n \\ \text{ Var }(Y)=2 n \end{gathered}\]Vemos que $Y$ tem função geradora de momentos:
\[\psi(t)=\left(\frac{1}{1-2 t}\right)^{n / 2}, t<1 / 2\]Propriedades
Soma de variáveis aleatórias qui-quadrado
Se $X_1, X_2, \ldots, X_n$ são variáveis aleatórias independentes com graus de liberdade $m_i$, então $W=\sum_{i=1}^n X_i$ tem distribuição qui-quadrado com graus de liberdade $m=\sum_{i=1}^n m_i$
Distribuição do quadrado de uma variável aleatória Normal padrão
Se $X \sim \text{Normal}(0,1), Y=X^2$ tem distribuição qui-quadrado com $m=1$.
Distribuição da soma de quadrados de normais padrão
Se $X_1, X_2, \ldots, X_n$ são variáveis aleatórias Normal padrão, então $Z=\sum_{i=1}^n X_i^2$ tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade.
Distribuição T-student
A distribuição $t$ é uma distribuição de probabilidade absolutamente contínua, simétrica e campaniforme, o único parâmetro que a caracteriza esta família é o número de graus de liberdade. A função densidade de probabilidade da $t$ detém caudas mais pesadas que a distribuição normal quando $n$ é pequeno e a medida que $n$ cresce, a distribuição t de Student se aproxima da normal.
\[T \sim t(n)\] \[\begin{gathered} f(t)=T \text{ Den }(t ; n)=\frac{\Gamma\left(\frac{n + 1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right) \sqrt{\pi n}}\left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-(n-1) / 2} \\ E(T)=0, \quad n \geq 2 \\ \text{ Var }(T)=\frac{n}{n-2}, \quad n \geq 3 \end{gathered}\] \[Z \sim N(0,1) \text { e } X \sim \chi^2(n)\] \[T=\frac{Z}{\sqrt{X / n}}\]é chamada de $t$ de Student com $n$ graus de liberdade. $T \sim t(n)$