Risco e Viés

Risco

\[R(\theta, \delta)=E_\theta\left[(\delta(\bar{X})-\theta)^2\right]\]

Um estimador bom, terá um risco baixo.

Viés

\[R(\theta, \delta) = var_{\theta} (\delta(\bar{X})) + viés_{\theta}(\bar{\delta})\] \[\text{ viés }(\hat{\theta})=E(\hat{\theta})-g(\theta)\]

Estimador $\theta$ não envieasado

\[\begin{aligned} & \text { viés }(\hat{\theta})=0 \rightarrow E(\hat{\theta})=\theta \\ & \text { viés }(\hat{\theta}) \rightarrow R(\theta, \delta)=\text{ var }_\theta(\delta(\bar{X})) \end{aligned}\]

• Lembrete: Nem sempre um estimador não-viesado existe.
• Lembrete 2: Nem sempre um estimador não-viesado é um bom estimador.

Estimador não-viesado da variância

Seja $\boldsymbol{X}= {X_1, X_2, \ldots, X_n }$ uma amostra aleatória, com $E\left[X_1\right]=m e$ $\text{Var}\left(X_1\right)=v<\infty$. Então

\[\delta_1(\boldsymbol{X})=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(X_i-\bar{X}_n \right )^2\]

é um estimador não-viesado de $v$.