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Risco \[R(\theta, \delta)=E_\theta\left[(\delta(\bar{X})-\theta)^2\right]\] Um estimador bom, terá um risco baixo. Viés \[R(\theta, \delta) = var_{\theta} (\delta(\bar{X})) + viés_{\theta}(\bar{\delta})\] \[\text{ viés }(\hat{\theta})=E(\hat{\theta})-g(\theta)\] Estimador $\theta$ não envieasado \[\begin{aligned} & \text { viés }(\hat...

Região Crítica Se queremos rejeitar $H_0$ (hipótese nula) se $\bar{X}_n$ está longe de $\mu_0$. Para isso definimos \[S_0:= \{x:-c \leq \bar{X}_n-\mu_0 \leq c \}\] de modo que $S_1=S_0^C$. Então, seguimos o procedimento: \[\begin{aligned} & X \in S_1 \Longrightarrow \text { rejeitar } H_0, \\ & X \in S_0 \Longrightarrow \text { não r...

Priori e Posteriori: $\xi(\theta) \; \& \; \xi(\theta \mid x)$ Em probabilidade bayesiana, uma distribuição de probabilidade a priori para uma quantidade indeterminada p, também chamada simplesmente de prior relativo a p (suponha, por exemplo, que p seja a proporção de votantes em determinado político numa eleição futura) é a distribuição d...

Funções de Perda: $L(\theta, \delta)$ Uma função de perda especifica uma penalidade para uma estimativa incorreta de um modelo estatístico. Funções de perda típicas podem especificar a penalidade em função da diferença entre a estimativa e o valor real. Perda Quadrática \[L(\theta, \delta)-(\delta-\theta)^2\] Perda Absoluta \[L(\theta, \del...

Definição Para cada $t$, seja $\delta_t$ o teste que rejeita $H_0$ se $T \geq t$. Então, quando $T=t$, o p-valor vale \[p(t):=\sup _{\theta \in \Omega_0} \pi\left(\theta \mid \delta_t\right)=\sup _{\theta \in \Omega_0} \text{Pr}(T \geq t \mid \theta)\] ou seja, o p-valor é o tamanho do teste $\delta_t$. Em outras palvras, o p-valor, informa ...

Definição O estimador de momentos é a solução da igualdade dos momentos amostrais com os momentos populacionais. Em outras palavras, temos um estimador que usa os momentos, dependendo da distribuição são usados 1 ou 2 momentos. Caso haja mais parâmetros, os próximos momentos serão informados. Suponha que $X_1, X_2, \ldots, X_n$ formam uma amos...

Definição de Intervalo de Confiança (IC) De acordo com a interpretação frequentista, um intervalo de confiança para um determinado parâmetro da população mostra um intervalo de valores do verdadeiro parâmetro da população compatíveis com os dados da amostra, com um certo nível de confiança, seja o parãmetro a média de uma determinada distribuiç...

Informação de Fisher : $I(\theta)$ Seja $\boldsymbol{X}={X_1, X_2, \ldots, X_n}$ uma amostra aleatória e seja $I_n(\theta)=E_\theta\left[-\lambda_n^{\prime \prime}(\boldsymbol{X} \mid \theta)\right]$ a informação de Fisher da amostra. Então: \[l(x \mid \theta)=\log f(x \mid \theta)\] $f(x \mid \theta)$ é diferenciável em $\theta$ : \[\begin{...