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Uma série é uma soma $s=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$ com um número infinito de parcelas. Para que isto faça sentido, poremos $s=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_1+\right.$ $\left.\cdots+a_n\right)$. Como todo limite, este pode existir ou não. Por isso há séries convergentes e séries divergentes. Dada uma seqüência $\left(a_n\right)$ de números...

Quando a série de potências $\sum a_n\left(x-x_0\right)^n$ tem raio de convergência $r>0$, diz-se que ela é a série de Taylor, em torno do ponto $x_0$, da função $f:\left(x_0-r, x_0+r\right) \rightarrow \mathbb{R}$, definida por $f(x)=\sum a_n\left(x-x_0\right)^n$. Esta denominação se deve ao fato de que a soma dos primeiros $n+1$ termos dest...

Uma seqüência de números reais é uma função $x: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$, que associa a cada número natural $n$ um número real $x_n$, chamado o $n$-ésimo termo da seqüência. Escreve-se $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n, \ldots\right)$ ou $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$, ou simplesmente $\left(x_n\right)$, para indicar a seqüência cuj...

Isto significa que estão definidas em $\mathbb{R}$ duas operações, chamadas adição e multiplicação, que cumprem certas condições, abaixo especificadas. A adição faz corresponder a cada par de elementos $x, y \in \mathbb{R}$, sua soma $x+y \in \mathbb{R}$, enquanto a multiplicação associa a esses elementos o seu produto $x \cdot y \in \mathbb{R}...

Axiomas de Peano $\mathrm{O}$ conjunto $\mathbb{N}$ dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos: Existe uma função injetiva $s: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$. A imagem $s(n)$ de cada número natural $n \in \mathbb{N}$ chama-se o sucessor de $n$. Ou seja, todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número natural. ...

Definição: Sejam $X \subset \mathbb{R}$ um conjunto de números reais, $f: X \rightarrow \mathbb{R}$ uma função real cujo domínio é $X$ e $a \in X^{\prime}$ um ponto de acumulação do conjunto $X$. Dizse que o número real $L$ é limite de $f(x)$ quando $x$ tende para $a$, e escrevese $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L$, quando, para todo $\varepsilon&...

Definição de Intervalos Intervalos Limitados, Ilimitados, Abertos e Fechados Seja $\mathbb{K}$ um corpo ordenado e $a, b \in \mathbb{K}$ tais que $a < b$. Definimos os intervalos: Intervalo Fechado: $[a, b]:={x \in \mathbb{K}: a \leq x \leq b}$ Tal intervalo representa o conjunto de todos os elementos de $\mathbb{K}$ que estão ent...

Continuidade de f Definição: $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ é contínua com $a \in I$ se para todo $\epsilon > 0, \exists \; \delta > 0$ tal que: \[|x-a| < \delta \rightarrow |f(x) - f(a)| < \epsilon\] Ou: \[\lim_{x \rightarrow a} f(x) = f(a)\] Continuidade em f’ \(\lim_{x\rightarrow c} f'(x) = f'(c)\) Uma função é contínua quan...